16.3 循环求乘积

16.3.1 求乘积的基本概念

“求乘积就是计算多个数相乘的结果。比如，我们要计算n的阶乘（1×2×3×…×n），就需要使用循环求乘积。”

求乘积的基本思路：

1. 定义一个乘积变量（通常命名为product或直接用特定含义的名称如factorial），初始值设为1
2. 使用循环遍历所有可能的数
3. 在循环中判断每个数是否满足条件，如果满足，将该数乘入乘积变量中
4. 循环结束后，乘积变量的值就是满足条件的数的乘积

16.3.2 实验一：计算n的阶乘

题目描述： 输入一个正整数n，计算并输出n的阶乘（n!）。

样例输入：

5

样例输出：

120

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    int fact = 1;  // 乘积变量初始化为1
    int i = 1;     // 从1开始乘
    
    while(i <= n) {  // 循环到n
        fact *= i;  // 乘到乘积中
        i++;        // 循环变量加1
    }
    
    cout << fact;  // 输出阶乘结果
    return 0;
}

思考：

1. 为什么fact的初始值设为1而不是0？
2. 对于n=5，阶乘的计算过程是怎样的？

解释：

1. fact初始化为1是因为任何数乘以0都是0。如果初始化为0，结果永远是0。而任何数乘以1等于它本身，不影响结果。
2. 5的阶乘计算过程：
   • 初始值：fact = 1
   • i=1时：fact = 1 * 1 = 1
   • i=2时：fact = 1 * 2 = 2
   • i=3时：fact = 2 * 3 = 6
   • i=4时：fact = 6 * 4 = 24
   • i=5时：fact = 24 * 5 = 120
   • 最终结果：fact = 120

16.3.3 实验二：计算1~n之间所有数的阶乘和

题目描述： 输入一个正整数n，计算并输出1到n的所有数的阶乘之和（1! + 2! + 3! + … + n!）。

样例输入：

3

样例输出：

9

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    
    int sum = 0;   // 总和变量初始化为0
    int fact = 1;  // 阶乘变量初始化为1
    int i = 1;     // 从1开始循环
    
    while(i <= n) {  // 循环到n
        fact *= i;   // 计算i的阶乘
        sum += fact; // 加到总和中
        i++;         // 循环变量加1
    }
    
    cout << sum;  // 输出阶乘和
    return 0;
}

思考：

1. 算法如何避免重复计算每个数的阶乘？
2. 对于n=3，阶乘和的计算过程是怎样的？

解释：

1. 通过在循环中连续计算阶乘，利用了阶乘的递推关系：n! = (n-1)! × n。每次循环，我们使用上一步计算的(i-1)!结果，乘以当前的i，得到i!，这样避免了重复计算。
2. 3的阶乘和计算过程：
   • i=1时：fact = 1, sum = 0 + 1 = 1
   • i=2时：fact = 1 * 2 = 2, sum = 1 + 2 = 3
   • i=3时：fact = 2 * 3 = 6, sum = 3 + 6 = 9
   • 最终结果：sum = 9

16.3.4 实验三：计算等差数列

题目描述： 输入三个正整数a、d和n，其中a是等差数列的首项，d是公差，n是项数，计算并输出该等差数列的前n项之和。

样例输入：

1 2 5

样例输出：

35

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a, d, n;
    cin >> a >> d >> n;
    
    int sum = 0;  // 总和变量初始化为0
    int term = a; // 当前项，初始为首项a
    int i = 1;    // 从第1项开始
    
    while(i <= n) {  // 循环到第n项
        sum += term;     // 加到总和中
        term += d;       // 计算下一项
        i++;             // 项数加1
    }
    
    cout << sum;  // 输出总和
    return 0;
}

优化版本：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int a, d, n;
    cin >> a >> d >> n;
    
    // 使用等差数列求和公式：Sn = n*(a1 + an)/2，其中an = a1 + (n-1)*d
    int last_term = a + (n - 1) * d;  // 最后一项
    int sum = n * (a + last_term) / 2; // 等差数列求和公式
    
    cout << sum;  // 输出总和
    return 0;
}

思考：

1. 等差数列的特点是什么？
2. 优化版本使用了什么公式计算总和？

解释：

1. 等差数列的特点是相邻两项的差值相等，即公差d相同。
2. 优化版本使用了等差数列求和公式：Sn = n*(a1 + an)/2，其中an = a1 + (n-1)*d，a1是首项，n是项数。