23.1 购买决策问题

2026年1月16日

课进展

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“购买决策问题是我们生活中常见的数学问题，”我微笑着解释道，”当我们有一定的预算，想要购买不同种类的物品，并且需要满足一些特定条件时，就需要通过计算找出所有可能的方案。”

23.1.1 买小猫小狗

题目描述：某动物饲养中心用X元专款购买小狗(每只A元)和小猫(每只B元)两种小动物。要求专款专用，至少猫狗各一只，正好用完。请求出方案的总数。如没有方案请输出0。

输入：输入一行，只有三个整数，分别为X, A, B。(100 < X < 32768，1 ≤ A ≤ 100，1 ≤ B ≤ 100)

输出：输出只有一行，包括1个整数，表示可行方案的总数。

样例输入：

1700 31 21

样例输出：

代码实现（方法一：双重循环）：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int x, a, b;
    cin >> x >> a >> b;         // 读取总资金x、小狗单价a、小猫单价b
    int cnt = 0;                // 初始化方案计数器
    
    for(int i = 1; i <= (x - b) / a; i++) {  // i是小狗的数量，至少买1只，最多买(x-b)/a只（预留至少买1只小猫）
        for(int j = 1; j <= (x - a) / b; j++) {  // j是小猫的数量，至少买1只，最多买(x-a)/b只（预留至少买1只小狗）
            if(i * a + j * b == x) {         // 判断当前组合是否刚好花完所有钱
                // cout << i << " " << j << endl;  // 输出具体方案（用于调试）
                cnt++;                        // 累加有效方案数
            }
        }
    }
    
    cout << cnt;                // 输出方案总数
    return 0;
}

代码实现（方法二：优化循环）：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int x, a, b;
    cin >> x >> a >> b;         // 读取总资金x、小狗单价a、小猫单价b
    int cnt = 0;                // 初始化方案计数器
    
    for(int i = 1; i <= (x - b) / a; i++) {  // i是小狗的数量，至少买1只，最多买(x-b)/a只
        int s = x - i * a;      // 计算买完i只小狗后剩余的钱
        if(s % b == 0 && s / b >= 1) {  // 判断剩余的钱是否能整除小猫单价，且至少能买1只小猫
            // cout << i << " " << s / b << endl;  // 输出具体方案（用于调试）
            cnt++;              // 累加有效方案数
        }
    }
    
    cout << cnt;                // 输出方案总数
    return 0;
}

思考：

方法一使用双重循环，外循环遍历小狗的可能数量，内循环遍历小猫的可能数量
方法二优化了内循环，直接计算剩余金额能购买的小猫数量
方法二的时间复杂度为O(n)，而方法一的时间复杂度为O(n²)
注意循环的边界条件：至少猫狗各一只，且总金额刚好用完

23.1.2 恐龙园买玩具

题目描述：小明暑假来到恐龙园游玩，在恐龙园的礼物店里，有一些形形色色的小恐龙玩偶，小明想购买其中霸王龙和三角龙玩偶送给自己的5位好朋友。店员告诉小明，霸王龙玩偶一只需要x元，三角龙玩偶一只需要y元。小明有n元，希望两种恐龙都能购买，购买的霸王龙的数量≥三角龙的数量，购买的总数要在5个或者5个以上（这样才够分），而且不能有钱剩下。请你编程帮助小明输出所有可能的购买方案。

输入：三个整数n x y，分别代表总金额、霸王龙的单价、三角龙的单价。

输出：所有满足条件的购买方案，每组购买方案占1行，用空格隔开2个数分别代表霸王龙的数量和三角龙的数量。按霸王龙的数量从少到多，三角龙的数量从多到少的顺序输出。