20.1 嵌套循环在数学问题中的应用

“嵌套循环在解决数学问题时非常强大，”我微笑着解释道，”它可以帮助我们系统地遍历多个数值，找出满足特定条件的组合，或者计算复杂的数学关系。”

20.1.1 求1~n中每个数的因子

题目描述：输入一个正整数n，输出1~n中每个数的所有因子。

样例输入：

5

样例输出：

1: 1
2: 1 2
3: 1 3
4: 1 2 4
5: 1 5

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;  // 读入正整数n
    
    // 外循环：遍历从1到n的每个数
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        cout << i << ": ";  // 输出当前数字，后跟冒号
        
        // 内循环：寻找i的所有因子
        for(int j=1; j<=i; j++) {
            // 判断j是否是i的因子（能整除i）
            if(i % j == 0) {
                cout << j << " ";  // 如果j是i的因子，则输出j
            }
        }
        cout << endl;  // 输出完一个数的所有因子后换行
    }
    return 0;
}

思考：

• 外循环(i)遍历1到n的每个数
• 内循环(j)检查从1到i的每个可能因子
• 使用取模运算(i % j == 0)判断j是否为i的因子
• 这是一个典型的嵌套循环应用：外循环选择待分析的数，内循环执行分析过程

20.1.2 输出9*9乘法表

题目描述：输出九九乘法表，每个乘积占4个字符位置（包括乘号和等号）。

样例输出：

1*1= 1 
2*1= 2 2*2= 4 
3*1= 3 3*2= 6 3*3= 9 
...
9*1= 9 9*2=18 9*3=27 ... 9*9=81 

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    // 外循环：控制乘法表的行数，从1到9
    for(int i=1; i<=9; i++) {
        // 内循环：生成每行中的乘法式子，j从1遍历到i
        // 这样每行只显示i*1到i*i的结果
        for(int j=1; j<=i; j++) {
            // 输出乘法表达式：i*j=
            cout << i << '*' << j << '=';
            
            // 格式控制：如果乘积大于9，直接输出；否则在乘积前加一个空格
            // 这样保证每个乘积占据相同的宽度，使表格对齐
            if(i*j > 9) cout << i*j << ' ';  // 两位数直接输出
            else cout << ' ' << i*j << ' ';  // 一位数前加空格保持对齐
        }
        cout << endl;  // 每行结束后换行
    }
    return 0;
}

思考：

• 外循环(i)控制行数，从1到9
• 内循环(j)控制每行中的乘法式子，从1到i
• 注意输出格式的处理：个位数前多加一个空格，保证对齐
• 这个实验展示了如何使用嵌套循环生成具有特定格式要求的输出